반도체학과 재학생이 알려주는 페르미 에너지

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 입자의 거동을 알아보는 통계적 방법 중 하나인 페르미-디랙 확률함수와 그에 따른 페르미 에너지에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

반도체는 전자와 정공 같은 캐리어를 통해 전류를 조절하고 작동합니다. 따라서 전자와 정공의 상태를 아는 것이 가장 중요합니다. 페르미 에너지는 캐리어의 분포와 특성을 알기 위해서 쓰이는 개념입니다.

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1. 페르미-디랙(Fermi-Dirac) 확률함수

2. 페르미 에너지

 

 

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1. 페르미-디랙(Fermi-Dirac) 확률함수

이 세계에 존재하는 입자들은 그 수가 너무 많아 입자 각각의 거동보다 많은 수의 입자 집단의 거동을 취급합니다. 그 입자 집단의 거동은 확률함수로 표현이 되고 이 확률함수는 다음과 같은 세 가지의 분포법칙을 따릅니다.

 

첫째, 맥스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzman) 확률함수 : 입자들을 1부터 번호를 매겨 구분. 각 에너지 상태에 허용되는 입자수에 제한이 없음. 적당히 낮은 압력 상태의 용기 속에 든 가스 분자 등이 이에 해당됨.

 

둘째, 보스-아인슈타인(Bose-Einstein) 확률함수 : 입자들을 구분 불가능. 각 양자상태에 허용되는 입자수에 제한이 없음. 이에 해당되는 입자를 보손(Boson)이라 부름. 광자(photon), 흑체복사(blackbody) 등이 이에 해당됨.

 

셋째, 페르미-디랙(Fermi-Dirac) 확률함수 : 입자들은 구분 불가능. 각 양자상태에 하나의 입자만 허용됨. 입자들 사이에 서로 영향을 주지 않음. 이에 해당되는 입자를 페르미온(Fermion)이라 부름. 전자(electron) 등이 이에 해당됨.

엔리코 페르미(1901~1954,좌), 폴 디랙(1902~1984,우) [출처: Nobelprize]

페르미-디랙 확률함수는 임의의 온도 T에서 에너지 준위 E가 입자에 의해 채워질 확률을 뜻합니다. 단위 에너지당 단위 부피당 입자의 수를 N(E), 단위 에너지당 단위 부피당 양자상태의 수를 g(E)라 하고, N(E)/g(E)를 페르미-디락 확률함수(f(E))라 합니다. f(E)는 다음과 같이 나타납니다.

k: 볼츠만 상수, Ef: 페르미에너지

 

2. 페르미 에너지

페르미-디랙 확률함수는 양자상태에 전자가 얼마나 채워져 있는지를 나타내고 있습니다. 확률함수를 제대로 이해하기 위해서는 exp의 괄호 안에 있는 Ef의 의미에 대해 이해해야 합니다.

 

Ef란 페르미 에너지를 말합니다. 페르미 에너지는 확률함수에 의거해 전자가 위치할 때 가지는 에너지입니다. 양자역학적으로 전자는 최외각 준위에 위치하게 되고 이 경우에는 전가가 원자 밖으로 나갈 수도, 그대로 있을 수도 있습니다. 확률이 반반(50%)라는 것입니다. 이처럼 전자가 존재할 확률이 50%일 때, 전자가 가지는 에너지 준위를 페르미 준위라 합니다.

 

온도에 따른 페르미 함수

우선, T=0K일 때를 살펴봅시다. E < Ef 이면 확률함수의 지수항의 극한이 0이 되므로 확률함수는 1로 수렴합니다. 이 경우는 에너지 E에 전자가 무조건 채워져 있는 경우입니다. E > Ef 이면 지수항의 극한이 1이 되므로 확률함수는 0으로 수렴합니다. 그럼 이 경우는 에너지 E에 전자가 하나도 없을 경우 즉, 전자가 비워져 있다는 것입니다.

 

임의의 온도에서는 그림에서 보신 바와 같이 전자의 분포가 바뀌게 되고, 에너지 준위에서도 변화가 생기게 됩니다. 그리고 E=Ef 일 때, 항상 50%가 되므로 이를 기준으로 전자의 상태를 확인할 수 있습니다.

 

반도체 공학에서는 f(E)를 통해 캐리어의 농도와 밀도, 그리고 에너지밴드의 상태 등을 계산하여 반도체의 물성을 조절합니다.

 

이상으로 페르미-디랙 확률함수와 페르미 에너지에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 반도체에 불순물을 집어넣어 전기적 특성을 조절하는 작업인 도핑에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

감사합니다.

 

*본 포스팅은 ‘NEAMEN의 반도체 물성과 소자’를 참고하여 제작하였습니다.

 

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